解析方法是常用的处理高维空间几何对象的手法，在这里我们集中阐述关于三维空间中的解析几何，以及我们最常见的研究内容：二次曲面。

坐标变换

空间直角坐标变换

欧拉角

几何变换

等距变换

仿射变换

柱面、锥面

这是两类比较简单的二次曲面。

柱面

Jordan 标准形是线性代数中一个重要的概念，它为线性变换提供了一种标准化的表示形式。通过 Jordan 标准形，我们可以将一个线性变换简化为更易于分析和计算的形式。

不变子空间

首先，对于一个线性变换 ，我们可以给出不变子空间的定义：

线性空间是高等代数中研究的最基本的对象之一，而线性映射与线性变换则与之密切相关。因此，我们将两者合并介绍。

线性空间

子空间的交与和

Proof

TODO

总体不算太难，但是跟往年风格似乎不太一样。

试题

一

1. 求 的值
2. 求反常积分

3. 求 在 上的弧长

4. 已知函数 在 上有连续的二阶导数， ，且有 ，求

5. 求级数：

的和函数 ，并求反常积分

6. 求定义在 上的周期为 的函数 的 Fourier 级数，并求级数

正项级数收敛性的判定

首先有 Cauchy 收敛准则

任意项级数收敛性的判定

绝对收敛与条件收敛

类似反常积分中的收敛性，此处也有绝对收敛和条件收敛的区分。

Abel 变换

有两数列 和 ，且有 的部分和数列 ，则有 Abel 变换:

证明不难。

Abel-Dirichlet 判别法

首先，由 Abel 变换，有引理：

注：试题来自 cc98

一、（ 15 分）

化简曲面方程

为标准方程，并指出它是什么曲面．

二、（ 12 分）

将 表示成初等对称多项式的多项式．

三、（ 15 分）

设 是数域 上的线性空间， 是 的子空间，

是商映射（自然映射）， ．

（1）设 在 中线性无关．证明 线性无关．

（2）设 ．且 线性无关，问 是否线性无关？说明理由．

一、求以下极限

注：使用洛必达法则没有过程分

二、写出下列命题的否定（不允许使用逻辑符号）

1. 数列 是正无穷大量

三、证明以下极限存在

四、证明以下命题

函数 在 上连续，且： ，取 ，求证：

1. 存在

2. 若 ，则

3. 将题目条件中的 "" 改为 "" 则：

试题

注：题目来自 cc98

一

1. 求 的 Maclaurin 展开

2. 求和函数：

3. 求极限：

4. 求

5. 求 的 Maclaurin 展开

6. 求 在 上的 Fourier 展开

二

求证：

在 上点态收敛但是不一致收敛。

题目大意

已知正整数, 求:

数据范围：

对于的数据，有：

对于的数据，有：

保证结果在long long范围内

题目分析

题面非常的直白。令，那么显然，我们所求的东西就是。

接下来的问题就是，如何快速的求。

显然我们有一个的解法，就是枚举每一个数，求区间内他的倍数出现次数，得到。但这显然无法满足全部数据的要求。我们需要更快的解法。在此我们给出一个的解法。

先给出一个结论：

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对于这个结论的证明（可以先跳过）：

GF(256)域是一个有限域，在密码学中非常常用

什么是有限域/伽罗瓦域(Galois Field)?

顾名思义，有限域就是含有有限个元素的域。

既然是含有有限个元素的域，那么关键点就在于有限和域两个概念。

首先我们看一下域的定义(来自维基百科):