浙江大学2024学年数学分析 I 期中考试回忆卷

一、求以下极限

注：使用洛必达法则没有过程分

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}\\ & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2+\frac{1}{k}}\\ & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(n+e^n{)}^{\frac{1}{n}}\\ & \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{x^2+x}+x)\\ & \underset{x\to 0}{lim}({\sin }^{2}x+\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}}\\ & \underset{x\to 1}{lim}(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3})\end{array}$$

二、写出下列命题的否定（不允许使用逻辑符号$\mathrm{\neg }$）

1. 数列 $\{x_n\}$ 是正无穷大量

2. $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}=a$

三、证明以下极限存在

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{\arctan (k!)}{k^2}$$

四、证明以下命题

函数 $f(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上连续，且： $\mathrm{\forall }x\in [0,+\mathrm{\infty }),0\le f(x)\le x$，取 $x_0\in [0,+\mathrm{\infty }),x_n=f(x_{n-1})$，求证：

1. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$ 存在

2. 若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=l$，则 $f(l)=l$

3. 将题目条件中的 "$\mathrm{\forall }x\in [0,+\mathrm{\infty }),0\le f(x)\le x$" 改为 "$\mathrm{\forall }x\in (0,+\mathrm{\infty }),0\le f(x)<x$" 则：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$

五、

1. 叙述 Bolzanoe-Weierstress 定理（致密性定理）

2. 叙述确界原理

3. 叙述闭区间套原理

4. 用闭区间套原理证明确界原理