级数理论

正项级数收敛性的判定

首先有 Cauchy 收敛准则

任意项级数收敛性的判定

绝对收敛与条件收敛

类似反常积分中的收敛性，此处也有绝对收敛和条件收敛的区分。

Abel 变换

有两数列 $a_n$ 和 $b_n$ ，且有 $b_n$ 的部分和数列 $B_n$ ，则有 Abel 变换:

$$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k=a_n{B}_n-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k$$

证明不难。

Abel-Dirichlet 判别法

首先，由 Abel 变换，有引理：

Abel 引理

数列 $a_n$ 与 $b_n$ 以及对应部分和满足：

1. $a_n$ 单调
2. $b_n$ 的部分和 $B_n$ 有界 $M$

则有：

$$\left|\sum _{k=1}^n{a}_n{b}_n\right|\le M(|a_1|+2|a_n|)$$

Proof

由 Abel 变换，有：

$$\begin{array}{rl}\left|\sum _{k=1}^n{a}_n{b}_n\right|& =|a_n{B}_n-\sum {k=1}^{n-1}(a_{k+1}-ak)B_k|\\ & \le \left|a_n{B}_n\right|+M|\sum {k=1}^{n-1}(a_{k+1}-ak)|\\ & \le M\cdot |a_n|+M\cdot |a_n-a_1|\\ & \le M\cdot (a_1+2|a_n|)\end{array}$$

这个引理使得我们可以方便地估计一个级数 $\sum a_n{b}_n$ 的行为。从而可以给出以下两个定理：

A-D 判别法

对于一个任意项级数 $\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_k$ ，若满足：

1. （ Abel 判别法） 若 $\sum a_k$ 收敛且 $b_n$ 单调有界。
2. （ Dirichlet 判别法） 若 $\sum a_k$ 有界且 $b_n$ 单调趋于0。

中的一个，则级数收敛。

Proof

首先证明 Dirichlet 判别法。

记 $|\sum a_k|\le M$ ，此时有：

$$\left|\sum _{k=n}^p{a}_k\right|=|A_p-A_{n-1}|\le 2M$$

由 Abel 引理，有：

$$\left|\sum _{k=n}^m{a}_k{b}_k\right|\le 2M(|b_n|+2|b_m|)$$

由于 $b_n$ 单调趋向于 $0$ ，从而可令 $|b_n|<\epsilon$ ，从而有：

$$\left|\sum _{k=n}^m{a}_k{b}_k\right|\le 6M\epsilon$$

从而由 Cauchy 收敛准则收敛。

接着通过 Dirichlet 判别法证明 Abel 判别法。

$b_n$ 单调有界，从而有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b$ 。此时令 $b_n^{\prime }=b_n-b$ ，则 $b_n^{\prime }$ 单调趋向于 $0$ 。
另一方面， $\sum a_k$ 收敛，从而必然有界，因此满足 Dirichlet 判别法的条件。从而有 $\sum a_k(b_k-b)$ 收敛，从而有 $\sum a_k{b}_k$ 收敛。

级数的运算

函数项级数

一致收敛

考虑函数项级数的收敛的 $\epsilon -N$ 定义，其中的 $N$ 通常会与 $x$ 的取值有关。如果能够取到一个只和 $\epsilon$ 有关而与 $x$ 无关的 $N$ ，则称此时为一致收敛。

这里给出几个判断函数列一致收敛的充要条件：

一致收敛的充要条件 1

函数列 $S_n(x)$ 在 $D$ 上点态收敛到 $S(x)$ ，定义：

$$d(S_n,S)=\underset{x\in D}{sup}|S_n(x)-S(x)|$$

则： $S_n$ 一致收敛的充要条件是：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(S_n,S)=0$$

以及一个类似的结论：

一致收敛的充要条件 2

对于任意一个数列 $x_n\in D$ ，有：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(S_n(x_n)-S(x_n))=0$$

Weierstrass 判别法

也叫优级数判别法，这个名字来自于它的判定：

Weierstrass 判别法

若 $\sum f_n(x)$ 满足：

$$|f_n(x)|<M_n$$

其中 $M_n$ 为一个常数列，则 $\sum f_n(x)$ 绝对收敛且一致收敛。

函数项级数的 Abel-Dirichlet 判别法

Dini 定理

Dini 定理

设 $u_n(x)\ge 0$ 在 $[a,b]$ 上连续，且点态收敛到连续函数 $u(x)$ ，则一致收敛到 $u(x)$ 。