线性空间与线性映射

线性空间是高等代数中研究的最基本的对象之一，而线性映射与线性变换则与之密切相关。因此，我们将两者合并介绍。

线性空间

子空间的交与和

维数公式

若：线性空间 $V$ 有两有限维子空间 $V_1,V_2$ ，则有：

$$\dim V_1+\dim V_2=\dim (V_1+V_2)+\dim (V_1\cap V_2)$$

Proof

TODO

直和与正交

直和的定义

对于线性空间 $V$ 的子空间 $V_1$ 和 $V_2$ ，当 $V_1\cap V_2=\left\{\overrightarrow{\theta }\right\}$ 时，则称 $V_1+V_2$ 为直和，记为 $V_1\oplus V_2$ 。

由维数公式，自然地有推论：

重要

当 $V_1$ 与 $V_2$ 均为有限维子空间时，直和 $V_1\oplus V_2$ 当且仅当 $\dim (V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2$

直和可以很好地刻画两个子空间之间的关系，但是我们仍然需要一些手段，从子空间的元素出发研究直和。从而给出结论：

重要

设有 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$ 和两个子空间 $V_1,V_2$ ，以下条件等价：

1. $V_1+V_2$ 为直和
2. 若 $\overrightarrow{{\alpha }_1}+\overrightarrow{{\alpha }_2}=\overrightarrow{\theta }$ ，则有 $\overrightarrow{{\alpha }_1}=\overrightarrow{{\alpha }_2}=\overrightarrow{\theta }$
3. $V_1+V_2$ 中的向量可以唯一的分解为 $\alpha +\beta$ ，其中 $\alpha \in V_1,\beta \in V_2$

Proof

TODO

以及另一个关于直和的重要结论：

直和补的存在性

对于任意一个有限维线性空间 $U$ 以及它的一个子空间 $V$ ，存在唯一的子空间 $W$ 使得：

$$U=V\oplus W$$

成立。此时，称 $W$ 为 $V$ 的直和补。

很容易注意到，直和与直和补实际上是想描述一个线性空间的分解和合成，而这样的分解不一定是两个子空间的和，因此可以扩展到 $n$ 个子空间的直和，同时也有类似的理论。

进一步地，对于内积空间，我们有正交和的概念。

线性映射

线性映射与线性变换

首先给出线性映射的定义：

线性映射

设 $\mathbb{F}$ 上的两个线性空间 $V$ 和 $W$ ， $\phi :V\to W$ 为 $V$ 到 $W$ 的映射，且满足：

$$\phi (k\overrightarrow{\alpha }+l\overrightarrow{\beta })=k\phi (\overrightarrow{\alpha })+l\phi (\overrightarrow{\beta })$$

则称 $\phi$ 为线性映射，记作 $\phi \in {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{F}}(V,W)$ 。

特别地，若 $V=W$ ，则称其为线性变换，记作 ${\mathrm{End}}_{\mathbb{F}}(V)$ 。

容易证明， ${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{F}}(V,W)$ 为 $\mathbb{F}$ 上的线性空间。此外，可以定义线性映射之间的乘法为线性映射的复合。

接下来，由于线性映射 $\phi$ 为一个映射，自然就存在一些情况下这个线性映射为双射。此时，我们说 $\phi$ 为同构映射：

同构

设 $\phi :V\to W$ 为一个线性映射，且为双射，则称其为线性空间 $V$ 到 $W$ 的同构映射，且称 $V$ 和 $W$ 关于 $\phi$ 同构，记作：

$$V\stackrel{\phi }{\cong }W$$

有时候我们并不能给出一个具体的同构映射，这个时候我们会省略 $\phi$ ，记作 $V\cong W$ 。

在后文，我们将使用花体字母 $\mathcal{A}$ 来表示一个线性映射。

线性映射的直和

线性空间上的直和给出了关于线性空间的分解，而线性映射的直和则给出了关于线性映射的分解。

线性映射的直和

考虑两个线性空间 $V_1$ 和 $V_2$ ，以及它们之间的线性映射 ${\mathcal{A}}_1\in {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{F}}(V_1,W)$ 与 ${\mathcal{A}}_2\in {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{F}}(V_2,W)$ ，则可以定义它们的直和为：

$${\mathcal{A}}_1\oplus {\mathcal{A}}_2\in {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{F}}(V_1\oplus V_2,W)$$

且：

$$({\mathcal{A}}_1\oplus {\mathcal{A}}_2)({\overrightarrow{\alpha }}_1+{\overrightarrow{\alpha }}_2)={\mathcal{A}}_1({\overrightarrow{\alpha }}_1)+{\mathcal{A}}_2({\overrightarrow{\alpha }}_2)$$

这给出了将几个互相交集为 $\left\{\overrightarrow{\theta }\right\}$ 的线性映射组合成一个新的线性映射的方式。

线性映射的矩阵

注意

在这里，我们只考虑有限维线性空间上的线性映射。

首先考虑线性变换 $\mathcal{A}\in {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{F}}(V,W)$ ，且有 $V$ 的一组基 $\left\{{\overrightarrow{\alpha }}_i\right\}$ 与 $\left\{{\overrightarrow{\beta }}_i\right\}$ ，则有：

$$\mathcal{A}(V)=\mathrm{Span}(\mathcal{A}({\overrightarrow{\alpha }}_1),\mathcal{A}({\overrightarrow{\alpha }}_2),\dots ,\mathcal{A}({\overrightarrow{\alpha }}_n))$$

又由于 $\mathcal{A}({\alpha }_i)\in W$ ，从而有：

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}\mathcal{A}(\overrightarrow{{\alpha }_1})& =a_{11}\overrightarrow{{\beta }_1}+a_{12}\overrightarrow{{\beta }_2}+\cdots +a_{1m}\overrightarrow{{\beta }_m}\\ \mathcal{A}(\overrightarrow{{\alpha }_2})& =a_{21}\overrightarrow{{\beta }_1}+a_{22}\overrightarrow{{\beta }_2}+\cdots +a_{2m}\overrightarrow{{\beta }_m}\\ & ⋮\\ \mathcal{A}(\overrightarrow{{\alpha }_n})& =a_{n1}\overrightarrow{{\beta }_1}+a_{n2}\overrightarrow{{\beta }_2}+\cdots +a_{nm}\overrightarrow{{\beta }_m}\end{array}\end{array}$$

从而可以给出线性变换 $\mathcal{A}$ 的矩阵表示：

$$\mathrm{A}={\left[\mathcal{A}\right]}_{\left\{{\alpha }_i\right\}}^{\left\{{\beta }_j\right\}}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nm}\end{array}\right)$$

有时也会写作：

$$\mathcal{A}({\overrightarrow{\alpha }}_1,{\overrightarrow{\alpha }}_2,\dots ,{\overrightarrow{\alpha }}_n)=({\overrightarrow{\beta }}_1,{\overrightarrow{\beta }}_2,\dots ,{\overrightarrow{\beta }}_m)\mathrm{A}$$

通常称 $\mathrm{A}$ 为 $\mathcal{A}$ 关于 $\left\{{\overrightarrow{\alpha }}_i\right\}$ 与 $\left\{{\overrightarrow{\beta }}_j\right\}$ 的矩阵表示。

容易证明，当 $\dim (V)=n$ 且 $\dim (W)=m$ 时，可以构造 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{F}}(V,W)$ 与 ${\mathbb{F}}^{m\times n}$ 之间的同构映射：

$${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{F}}(V,W)\cong {\mathbb{F}}^{m\times n}$$

从而可以得到 $\dim ({\mathrm{Hom}}_{\mathbb{F}}(V,W))=mn$

通过这个同构映射，我们可以给出线性映射的运算与矩阵运算之间的关系。特别地，当 $\mathcal{A}$ 为线性变换时，它的矩阵表示为一个方阵。

既然有了线性变换这个工具，那么我们自然想要考虑如何应用这个新的工具研究矩阵的性质。具体而言，我们考虑到，线性变换的矩阵是基于线性空间上的一个给定的基的，但是线性变换本身和取的基无关，因此我们自然地就想考虑：同一个线性变换，在不同基下矩阵的关系。于是，我们给出定理：

同一线性变换在不同基下的矩阵表示

设 $\mathcal{A}\in {\mathrm{End}}_{\mathbb{F}}(V)$ 为线性变换，且 $\left\{{\overrightarrow{\alpha }}_i\right\}$ 与 $\left\{{\overrightarrow{\beta }}_j\right\}$ 分别为 $V$ 的两组基，在两组基下的矩阵表示分别为 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ ，则有：

$$\mathrm{B}={\mathrm{P}}^{-1}\mathrm{A}\mathrm{P}$$

其中 $\mathrm{P}$ 为从 $\left\{{\overrightarrow{\alpha }}_i\right\}$ 到 $\left\{{\overrightarrow{\beta }}_j\right\}$ 的过渡矩阵。

Proof

TODO

基于这一点，我们可以说：线性变换所对应的矩阵在相似的意义下是唯一的，且这是充要条件。

线性变换的特征理论

特征值理论是研究矩阵时的一个核心理论。在前一节我们给出了线性变换与对应矩阵的关系，自然地，我们可以将特征值理论推广到线性变换上。

线性变换的特征值与特征向量

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，且 $\mathcal{A}\in {\mathrm{End}}_{\mathbb{F}}(V)$ 为线性变换，若存在非零向量 $\overrightarrow{\alpha }\in V$ 以及数 $\lambda \in \mathbb{F}$ 使得：

$$\mathcal{A}(\overrightarrow{\alpha })=\lambda \overrightarrow{\alpha }$$

则称 $\lambda$ 为 $\mathcal{A}$ 的特征值，$\overrightarrow{\alpha }$ 为 $\mathcal{A}$ 的特征向量。属于同一个特征值的所有特征向量构成*特征子空间，记作 $V_{\lambda }$ 。

由于线性变换的矩阵在相似意义下是唯一的，因此线性变换的矩阵对应的特征多项式是唯一的，它被定义为特征多项式。

像集与核

在这里，我们将要研究两个线性代数中最为重要的概念：像集与核。

像集与核

设 $\mathcal{A}\in {\mathrm{End}}_{\mathbb{F}}(V)$ 为线性变换，则 $\mathcal{A}$ 的像集（Image）定义为：

$$\mathrm{Im}(\mathcal{A})=\mathcal{A}(V)=\{\mathcal{A}(\overrightarrow{\alpha })\mid \overrightarrow{\alpha }\in V\}$$

而 $\mathcal{A}$ 的核（Kernel）定义为：

$$\mathrm{Ker}(\mathcal{A})=\{\overrightarrow{\alpha }\in V\mid \mathcal{A}(\overrightarrow{\alpha })=\overrightarrow{\theta }\}$$

容易证明，$\mathrm{Im}(\mathcal{A})$ 是 $W$ 的子空间，而 $\mathrm{Ker}(\mathcal{A})$ 是 $V$ 的子空间。因此，它们也被称作像空间与核空间。

根据这一点，我们可以给出一些关于线性映射的结论：

重要

对于一个线性映射 $\mathcal{A}$ ，有：

1. $\mathcal{A}$ 是单射当且仅当 $\mathrm{Ker}(\mathcal{A})=\left\{\overrightarrow{\theta }\right\}$
2. $\mathcal{A}$ 是满射当且仅当 $\mathrm{Im}(\mathcal{A})=W$

我们在后面将会多次用到这个引理。

同构映射

在此前，我们讨论了线性映射，而在这里我们将会进一步讨论特殊的线性映射：同构。

TODO

像集与核的关系

首先定义线性变换的秩与零化度：

秩与零化度

设 $\mathcal{A}\in {\mathrm{End}}_{\mathbb{F}}(V)$ 为线性变换，则 $\mathcal{A}$ 的秩（Rank）定义为：

$$\mathrm{rank}(\mathcal{A})=\dim (\mathrm{Im}(\mathcal{A}))=\dim (\mathcal{A}(V))$$

而 $\mathcal{A}$ 的零化度（Nullity）定义为：

$$\mathrm{nullity}(\mathcal{A})=\dim (\mathrm{Ker}(\mathcal{A}))=\dim (\{\overrightarrow{\alpha }\in V\mid \mathcal{A}(\overrightarrow{\alpha })=\overrightarrow{\theta }\})$$

容易注意到，线性变换的秩就是它在某一基下矩阵的秩。

这里，我们将会给出一个非常重要的定理：

秩-零化度定理

对于一个线性映射 $\mathcal{A}\in {\mathrm{End}}_{\mathbb{F}}(V)$ ，有：

$$\mathrm{rank}(\mathcal{A})+\mathrm{nullity}(\mathcal{A})=\dim (V)$$

且 $\mathrm{Im}(\mathcal{A})$ 的任意一组基的一组原像与 $\mathrm{Ker}(\mathcal{A})$ 的任意一组基合并成 $V$ 的一组基。

Proof

TODO

积空间

积空间给出了将多个线性空间复合成一个新的线性空间的方式。

积空间

设 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 个线性空间 $V_1,V_2,\dots ,V_n$ ，则它们的积空间（Product Space）定义为：

$$V_1\times V_2\times \cdots \times V_n=\{({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\dots ,{\overrightarrow{v}}_n)\mid {\overrightarrow{v}}_i\in V_i\}$$

其中 ${\overrightarrow{v}}_i$ 为 $V_i$ 中的向量。

有些地方也将这个称作笛卡尔积，也有些教材将其称为外直积。容易证明这是一个线性空间。

商空间

商空间是一个重要的概念，它给出了将一个线性空间的某些子空间的信息“剥离”掉的方式，从而可以使某些隐藏的结构显现出来。

首先给出定义：

商空间

设 $V$ 是一个线性空间，且 $W$ 是 $V$ 的一个子空间，则 $V$ 关于 $W$ 的商空间（Quotient Space）定义为：

$$V/W=\{\overrightarrow{v}+W\mid \overrightarrow{v}\in V\}$$

其中 $\overrightarrow{v}+W$ 表示 $W$ 中所有与 $\overrightarrow{v}$ 相加的向量构成的集合。

容易证明这是一个线性空间。

从而可以给出一个非常重要的定理：

同态基本定理 / 线性映射基本定理

设 $\mathcal{A}\in {\mathrm{End}}_{\mathbb{F}}(V)$ 为线性变换，则有：

$$V/\mathrm{Ker}(\mathcal{A})\cong \mathrm{Im}(\mathcal{A})$$

Proof

TODO