空间解析几何

解析方法是常用的处理高维空间几何对象的手法，在这里我们集中阐述关于三维空间中的解析几何，以及我们最常见的研究内容：二次曲面。

坐标变换

空间直角坐标变换

欧拉角

几何变换

等距变换

仿射变换

柱面、锥面

这是两类比较简单的二次曲面。

柱面

柱面的定义

由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线构成的曲面称为柱面，定曲线称为柱面的准线，直线族中的每一条直线称为柱面的直母线，定方向称为柱面方向。

锥面

旋转面

一般的二次曲面

正如一组平行直线或一组相交直线为平面上二次曲线的退化，柱面和锥面也是空间中任意二次曲面的退化。因此，在这里我们要开始研究一般化的二次曲面。

椭球面

椭球面的标准方程

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1a,b,c\in {\mathbb{R}}^{+}$$

容易注意到，这和平面上椭圆的方程是很相似的，也因此它可以给出一些类似的几何性质。

单叶双曲面

单叶双曲面的标准方程

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

双叶双曲面

双叶双曲面的标准方程

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$$

抛物面

二次直纹面

直纹面的定义

由一族直线构成的曲面称为直纹面，其中每一条直线称作直纹面的直母线。

容易注意到，柱面、锥面都是直母线。那么，接下来我们考虑其它的二次曲面是否满足直纹面的定义。

单叶双曲面的直纹性

双曲抛物面的直纹性

二次曲面方程的化简