浙江大学 2024 学年数学分析 II 期末考试回忆卷

Renatus Madrigal2025/6/13大约 1 分钟

总体不算太难，但是跟往年风格似乎不太一样。

试题

J = \int_{0}^{+ \infty} \frac{\arctan x}{(1 + x^{2}) e^{\arctan x}} d x

求 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 在 $[0, 1]$ 上的弧长
已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上有连续的二阶导数， $f (π) = 2$ ，且有 $\int_{0}^{π} (f (x) + f^{″} (x)) \sin x d x = 2025$ ，求 $f (0)$
求级数：

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n + 1} x^{n}

的和函数 $S (x)$ ，并求反常积分

\int_{0}^{1} S (x) d x

求定义在 $[- 2, 2]$ 上的周期为 $4$ 的函数 $f (x) = | x |$ 的 Fourier 级数，并求级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$

已知级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，求证：级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} n^{- x}$ 在 $[0, + \infty)$ 上一致收敛。

已知幂级数：

S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{(2 n - 1)!!}{(2 n)!!} x^{n}

求证：

已知周期为 $2 π$ 的函数 $f (x)$ 在 $[- π, π]$ 上 Riemann 可积，且有 $b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \sin (n x) d x$ ，求证：

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{b_{n}}{n} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (x) (π - x) d x

已知级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $x > 1$ 时有和函数 $f (x)$ ，求证：

I = \int_{1}^{\infty} \frac{[t]}{t^{s + 1}} d t

收敛。其中 $[t]$ 表示取整数部分。