浙江大学2023学年高等代数与解析几何 II 期末考试回忆卷

注：试题来自 cc98

一、（ 15 分）

化简曲面方程

$$xy+yz+xz=a^2(a>0)$$

为标准方程，并指出它是什么曲面．

二、（ 12 分）

将 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^4+x_2^4+x_3^4$ 表示成初等对称多项式的多项式．

三、（ 15 分）

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，$W$ 是 $V$ 的子空间，

$$\begin{array}{rl}\pi :V& \to V/W\\ v& \mapsto \overline{v}\end{array}$$

是商映射（自然映射），$n\ge 1$ ．

（1）设 $v_1,\cdots ,v_n\in V,{\overline{v}}_1,\cdots ,{\overline{v}}_n$ 在 $V/W$ 中线性无关．证明 $v_1,\cdots ,v_n$ 线性无关．

（2）设 $v_1,\cdots ,v_n\in V\mathrm{\setminus }W=\{v\in V\mid v\notin W\}$ ．且 $v_1,\cdots ,v_n$ 线性无关，问 ${\overline{v}}_1,\cdots ,{\overline{v}}_{\pi }$ 是否线性无关？说明理由．

四、（ 13 分）

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间，$V$ 上的线性变换 $\sigma$ 有互不相同的特征值 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_k$ 及相应的特征向量 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_k$ 。若有 ${\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_k\in W$ 且 $W$ 为 $\sigma$ 的不变子空间。证明： $\dim W\ge k$ 。

五、（ 15 分）

求平面上的仿射变换 $f$ 的坐标表达式，使得 $f$ 把圆 $x^2+y^2=1$ 变成圆 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=4$ ，且 $f$ 把 $x$ 轴变成 $y+1=0$ 。

六、（ 15 分）

设 $n>1,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$ 的一组基，$\lambda \in \mathbb{F}.f:V\to V$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $f\left({\alpha }_i\right)=\lambda {\alpha }_i+{\alpha }_{i-1},i=2,3,\cdots ,n;f\left({\alpha }_1\right)=\lambda {\alpha }_1$ 。

（1）写出 $f$ 在基 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 下的矩阵．

（2）若 $W$ 是 $V$ 的一个 $f$-不变子空间，$W\ne \{\theta \},W\ne V$ ，问是否存在 $V$ 的一个 $f$－不变子空间 $U$ ，使得 $V=W\oplus U$ ？说明理由．

七、（ 15 分）

设
$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 2\\ 1& 8& 2\\ -2& -14& -3\end{array}\right)$
．

（1）求 $A$ 在复数域上的Jordan 标准形.
（2）求 $A^{20}$ ．